如果 $c$ 无平方因子，则显然 $\operatorname{rad}(abc)\ge \operatorname{rad}(c)= c$，无解；否则，设 $c=p^2c'$，则令 $a=pc'$, $b=p(p-1)c'$，则 $\operatorname{rad}(abc)=\operatorname{rad}(p(p-1)c')< c$。因此，有解当且仅当 $c$ 有平方因子。

枚举不超过 $c^{\frac13}$ 的数尝试分解，如果分解后的数 $c'>1$，则要么是素数，要么是两个素数的乘积。只需判断 $c'$ 是否是完全平方数即可。

时间复杂度为每组数据 $O(c^{\frac13})$，也可以预处理 $c^{\frac13}$ 内的素数做到每组数据 $O(c^{\frac13}/\log c)$。当然也可以直接用整数分解的算法，如 Pollard-Rho。