无环等价于每个点至多被两个区间覆盖，求最大的权值和。这是一个经典问题，可以用最小费用流解决：

• 对每个区间，从 $s_i-1$ 到 $e_i$ 连边容量 $1$，费用 $-w_i$。
• 对每个 $x\pod{0\le x<\max\{e_i\}}$，从 $x$ 到 $x+1$ 连边容量 $+\infty$，费用 $0$。

从 $0$ 到 $\max\{e_i\}$ 的流量为 $2$ 的最小费用流的相反数即为答案。注意初始时图中有负边，但是是 DAG，在使用 Dijkstra 算法时将点 $u$ 的势能设为 $-10^{12}\cdot u$ 即可。

时间复杂度 $O(N\log N)$。