题目中的特殊条件即为每个点双连通分量的大小都不超过 $7$。

我们可以分别处理每个点双连通分量。假设根的颜色固定为 $1$，则染色方案数是一个次数不超过 $s-1$ 的多项式，其中 $s$ 是点双连通分量的大小。整个图用 $k$ 种颜色染色的方案数即为所有点双连通分量的方案数之积再乘 $k$ 的连通块数次方。这是一个次数不超过 $n$ 的多项式，可以通过对每个点双连通分量的多项式分治 FFT 求出。求出之后对 $1,2,\ldots,n$ 多点求值即可。

求 $f_{i,k}$ 可以用 DP 和插值，也可以暴力枚举等价类。

总时间复杂度 $O(n(\log^2n+3^7)+m)$。

另一种更简单的做法是，本质不同的多项式只有几百种，对每个 $i$ 暴力计算，快速幂即可。