题意：给定一个网络，求流量为 $1$ 的最小费用，其中边 $e$ 上流量为 $f(e)$ 的费用是 $c(e)f^2(e)$，流量可以为负数，此时看做一个反向的流。

考虑这个问题和最基本的费用流有什么区别。我们可以将这个问题看做一个边费用随流量变化的网络，具体地，若边 $e$ 已经有 $f(e)$ 的流量，它的单位流量的费用应该是 $2c(e)f(e)$。

尽管这个流量是连续变化的，但是这不影响我们离散地理解它。考虑每次增广 $\epsilon$ 的流量，那我们会选择一条费用和最小的 $1\to n$ 路径，然后在其上增广 $\epsilon$ 的流量。感性理解增广过程，一开始，由于所有边费用都是 $0$，我们会任选一条路增广，然后它的费用非 $0$，于是我们又选择另一条路增广，以此类推，最终会得到这样的结果：任何一条从 $1$ 至 $n$ 的路径，其上所有边费用的和均相等。然后将这个流等比例放大，最终得到答案所求的流。

怎么解出这个相等条件呢？那显然，我们对每个点建立变量，表示从 $1$ 到当前点的路径费用和，与每条边的流量联立，能得到一个有 $|V|+|E|-1$ 个变量的方程组。那其中有多少方程呢？首先题目中给出的网络流最基本的方程有 $|V|-1$ 个，同时每条边和两端点对应的变量也能列出一个方程，那总共也是 $|V|+|E|-1$ 个，于是我们将其解出即可。

或者我们还可以换一个方向理解。

$c(e)f^2(e)$ 这个形式比较有趣，我们来回想一下什么和“流”有关的东西也有类似的形式。翻开初三物理书，你可以发现：$Q=I^2Rt$。

于是，我们将整个网络看做一个电路，注意电路中的电流天然满足网络流的流量限制条件，将每条边的边权 $c(e)$ 看做是电阻，那问题就变成了，找到一种分配电流的方式，使得电路功率 $P$ 最小。

由于这是电路向外放热，那感性的理解上，自然界的规律也会尽量让 $P$ 最小。那我们对实际问题列方程即可，具体地，根据基尔霍夫定律列方程，会得到和上面相同的方程组。

有没有更理论，看上去更严谨的做法？

实际上，整个问题是需要我们求出方程组 $Ax=b$ 的满足 $||x||$ 最小的解。虽然题目中的费用带权，但是我们将其换元可以轻松转化成这个形式。那这个最小解是什么？

我们给出结论：这个最小解 $x^{*}=A^{T}(AA^{T})^{-1}b$。首先，$x^{*}$ 显然是方程组的一个解，所以我们只需要证明 $x^{*}$ 是所有解中 $||x||$ 最小的。

考虑一个解 $x$。我们有 $||x||^2=||x^{*}||^2+||x-x^{*}||^2+2{x^{*}}^{T}(x-x^{*})$。注意到：

$$ \begin{aligned} {x^{*}}^{T}(x-x^{*})&=[A^{T}(AA^{T})^{-1}b]^{T}[x-A^{T}(AA^{T})^{-1}b]\\ &=b^{T}(AA^T)^{-1}A[x-A^{T}(AA^{T})^{-1}b]\\ &=b^{T}(AA^{T})^{-1}(Ax-b)\\ &=0 \end{aligned} $$

那么显然有 $||x||^2=||x^{*}||^2+||x-x^{*}||^2$，问题得以解决，且同时可以说明 $x^{*}$ 是唯一取到最小值的解。

这被称为线性方程组的最小范数解。