枚举哪些位置非零，那么方案数是 $(a_{i_1}-0)(a_{i_2}-1)\cdots(a_{i_k}-(k-1))$。

列出 DP 方程：$dp(i+1,j+1)=dp(i,j)+dp(i,j+1)\cdot (a_i-j)$。

把第二维取反，变成 $dp(i+1,j+1)=dp(i,j)+dp(i,j+1)\cdot (a_i-i+j+1)$。

其组合意义是把一些数分成若干个非空的集合，剩下的数会有 $b_i=a_i-i+1$ 的贡献。令 $B(x)=\exp(\exp(x)-1)$，则答案就是 $B(x)\sum_{i=1}^n (1+b_ix)$ 的 $x^n$ 的系数。

现在要求每个前缀的答案，那就分治，每个区间只需要保留 $O(r-l)$ 项的系数。

时间复杂度 $O(n\log^2n)$。