$K$ 和 $2N(N-1)-K$ 其实是等价的，因为将 $(i+j)\bmod 2=1$ 的格子取反，相邻格子颜色相同和不同会取反。

$K=1$ 和 $K=2N(N-1)-1$ 一定无解，因为是正方形，所以每条边一定被一个 $2\times 2$ 的小矩形所包含，在这个小矩形之中不可能恰好有一对颜色不同的相邻格子。

剩余的情况都有解。根据上面所说的，可以假设 $K\le N(N-1)$，当 $N>4$ 时，先用 $(3,1)$（度数为 $3$）调整奇偶性，然后尽可能用不在边界上的度数为 $4$ 的点，最后剩下 $2$ 用 $(1,1)$ 来补齐。当 $N>4$ 时可以证明一定足够，$N\le 4$ 需要一些特判。