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Type: Editorial

Status: Open

Posted by: jiangly

Posted at: 2025-12-13 00:22:56

Last updated: 2025-12-13 00:22:59

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题解

首先可以只考虑 $2$ 的移动,因为当所有的 $2$ 都复原之后,$1$ 自然也复原了。把 $s$ 和 $t$ 中的 $2$ 一一匹配后,设它们之间的距离为 $d_1,\ldots,d_m$,其中 $m$ 是 $2$ 的个数。则我们能得到一个答案的下界:$\sum_{i=1}^d(\lfloor d _i/2\rfloor\cdot (C+4)+(d_i\bmod 2)\cdot(C+3))+$(逆序对数)。这是因为我们可以通过翻转 $112$ (或 $211$) 来使一个 $2$ 移动两步,通过翻转 $12$ (或 $21$) 来使一个 $2$ 移动一步。而每有一个逆序对,就需要翻转一次 $122$ (或 $221$),从而额外产生 $1$ 的代价。上式的最小值可以用 $O(N^2)$ 的 DP 求解。可以证明这个下界能够取到,并且可以用拓扑排序构造方案。时间复杂度 $O(N^2)$。

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