设 $F(x)=\sum_{i=0}^\infty F_{i+1}x^{i}$，$A(x)=1-\sum_{i=1}^ka_ix^i$，$B(x)=1-\sum_{i=1}^kc_ix^{b_i}$。则对任意的低于 $k$ 次的多项式 $P(x)$，都存在低于 $b_k$ 次的多项式 $Q(x)$ 使得 $\frac{P(x)}{A(x)}=\frac{Q(x)}{B(x)}=F(x)$。容易发现充要条件为 $A(x)$ 是 $B(x)$ 的因子。

我们可以求出每个 $x^{b_i}\bmod A(x)$，$B(x)\bmod A(x)=0$ 也就是它们的一个线性组合，高斯消元即可。

时间复杂度 $O(k^3\log b_k)$。如果用 FFT 优化，可以将求 $x^{b_i}\bmod A(x)$ 的部分优化至 $O(k^2\log k\log b_k)$，复杂度瓶颈为高斯消元 $O(k^3)$。